テイラーの定理
　参考書ではテイラーの定理
　　f(x) = f(a) + (f'(a)/1!)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ････ + (f^(n-1)(a)/(n-1)!)(x-a)^(n-1) + Rn ････ (#1)
（Rn は剰余項）
がいきなり示され、ロルの定理を利用した証明が載っています。この証明自体を追うことはさほど難しくないのですが、どうして(#)が湧き出たのかがよくわからないのです。
　f'(x) に対して、平均値の定理を使うと
　　f'(x) = f'(a) + f''(c)(x-a)
　これを [a〜x] で積分して移項すれば
　　f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2 ････ (#2)
　f'(x)に(#2)を適用すると
　　f'(x) = f'(a) + f''(a)(x-a) + f'''(c)/2 (x-a)^2
　これを [a〜x] で積分して移項すれば
　　f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(x)/2 (x-a)^2 + f'''(c)/3! (x-a)^3

　以後この方法を繰り返せば（つまり積分の力を借りれば）なんとか(#)を推定することができます。
　積分を利用しないで(#)を推定するにはどうしたらいいのでしょうか。削除された記事が10件あります.見る

…	>積分を利用しないで(#)を推定するにはどうしたらいいのでしょうか。 そもそも、 x=aを中心にした関数の値 f(x) のベキ級数展開 f(x)=f(a) + c_1・(x-a) + c_2・(x-a)^2 + … c_n・(x-a)^n + … は、f(a)の値がわかっているなら一番自然な近似計算の方法なのですよ この級数の展開係数 c_n を決めるためには f(x)がxで微分可能なら f(x)をｎ階微分して x=a と置くと、級数の他の項が全て消えて fのn階微分(a) = n!・c_n ∴c_n = fのn階微分(a)／n! というのが、自然に出てくるわけです

…

オレは大学時代こう考えていた… まずは、テーラー展開よりもマクローリン展開の簡単な説明を考える。 f(x)を有理式で近似することを考える。つまり f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…　　　…�@とする。 ここで x=0 を代入すると、f(0)=a0 が分かる。次に�@の両辺を微分する f'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+… ここで x=0 を代入すると、f'(0)=a1 が分かる。以下同様に、 a2=f''(0)/2! a3=f'''(0)/3! a4=f''''(0)/4! …　となる これを�@に代入するとマクローリン展開の式ができる 後は教科書に載っているように、これをテーラー展開に持って行けば良い。

…	>積分を利用しないで(#)を推定するにはどうしたらいいのでしょうか。 歴史的にはまず微積分より先に「ベキ級数展開」があったのですが これは天文学の天体の軌道計算で「摂動」つまり 惑星や衛星が他の天体からの重力で 本来の楕円軌道からズレる程度を計算するための方法だったのです 楕円軌道という２体問題の「厳密解」は予めわかっているので、 他の天体の影響でその解からどれだけズレるのか？ という発想でベキ級数展開して計算するわけです 量子力学では今でもこういう摂動計算をやりますが 簡単なベキ級数程度ならともかく、関数解析でこれを やると正直、うんざりする計算量です

…	天文学で実際に級数展開してみると、天体運動は周期的な変化が多いので、普通の級数展開よりもフーリエ級数にするほうが良い。 周期現象が多い天体現象なら、フーリエ級数によって項の数を減らすことができるから、計算量が減る。（まあ、三角関数表を引く手間はあるのだろうが）

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました

…	書き込みをした人によって削除されました