体構造と全順序が両立 - 数学＠ふたば保管庫

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体構造と全順序の両立について
体構造と全順序が両立するとは
(1) a≦b ⇒ a+c≦b+c
(2) a≧0 かつ b≧0 ⇒ ab≧0
が任意の元a,b,cについて成り立つことをいうそうなのですが、
(1)' a≦b かつ a+c＞b+c
や
(2)' a≧0 かつ b≧0 かつ ab＜0
を満たすような、ある元a,b,cが存在すると仮定すると、体構造または全順序の定義に対してどのような不具合が生じるのでしょうか？

体構造と全順序が両立しない、というだけで
特に不具合はないのでは？

例えば実数体について、10は他のどの実数よりも小さい数とし、
10以外の実数どうしを比較した場合は通常の順序であるような、
全順序を定義したとすると、
a=8,b=9,c=1のときは(1)が成立しない、
a=2,b=5のときは(2)が成立しない、けど、
体構造と全順序の定義としては、特に不具合ないと思ゆ。。。

なるほど分かりました。
ありがとうございます。
両立するというのは順序の付け方を(一通りに？)限定するということですね。

(1)と(2)から
(2') a≦0 かつ b≦0 ⇒ ab≧0
は示せる？

(1)より a≦0 ⇒ a+(-a)≦0+(-a) ⇒ 0≦-a
同様に b≦0 ⇒ 0≦-b
(2)より -a≧0 かつ -b≧0 ⇒ (-a)(-b)≧0 ⇒ ab≧0

こうでしょうか。
体の性質は証明せずに使いました。

おそらくそれで合っていると思われ。

ところで実数体について、体構造と両立する全順序は一意に決まる(通常の順序関係のみ)のだろうか。
あるいは通常とは異なる順序関係が存在するのだろうか。
暫く考えたけど分からずじまい、、、