数学＠ふたば保管庫 [戻る]
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そもそも、ｎ個が碁石の総数であったっ場合（2）の仮定が成立しない。 |
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①この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。 ②次に除外した石を元に戻し他の石を除いてみるとやはり同様に同色でなければならない。 ③よって手の中の碁石はすべて同色である。 ①と②は正しい、しかし①の時の色と②の時の色が同じであることを証明しなければ③は言えない |
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その中には入るのは |
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こんなの反例示せばいいだけ 「全部つかむと白と黒の両方が必ず存在する」 「Xが真であると仮定する」ってのはXが偽であることを証明するために使うのが一般的。 Xが真と仮定するなら、Yは真となる。しかし、前提条件でYは偽であるため、Xは真ではない。みたいに使う。 (2)自体が証明すべき事項なので、スレ主は「(2)が真であると仮定すると、(2)は真である」と言ってるようなもの。 |
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>ここで n+1 個の碁石をつかんだとして、この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。次に除外した石を元に戻し他の石を除いてみるとやはり同様に同色でなければならない。 ここまでは正しいが >よって手の中の碁石はすべて同色である。 この推論がn=2で成り立たない |
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特に問題が見当たらない… >この山から無造作にいくつかの石をつかみ取ると、 >その中には入るのは同色（白石ばかりであるか、または黒石ばかり）である。 というのがどういう物理的メカニズムによって達成されるのかは皆目わからんが、 この前提を認めたならば、 ・山からn+1個とったとき全部白か、全部黒 が成立する、 ていうか実際のところ、n個のときがどうなのかとは無関係に >よって手の中の碁石はすべて同色である。 といわざるおえない （冗長さが悪ならそこがスレ題の証明の問題だとわいえる、 |
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>この推論がn=2で成り立たない n=1だったね 2個掴んで一個除くと同色(例えば黒) 除いたの戻して別のを除いても同色(例えば白) |
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>(1)つかんだ石が１個の場合、確かに成り立つ。 確かに正しい。 >(2)n 個のとき成り立つと仮定する。 お、おう。 >ここで n+1 個の碁石をつかんだとして、この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。次に除外した石を元に戻し他の石を除いてみるとやはり同様に同色でなければならない。よって手の中の碁石はすべて同色である。 ダウト。 (2)の成立はあくまで仮定。 碁石を1個加え、除いた地点で(2)が成立するとは言っていない。 |
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>>100074 の意見に同意。n=1の時に(2)の推論が成立しない。 |
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>No.100081 >No.100082 ちょっぬんで？ >この山から無造作にいくつかの石をつかみ取ると、その中には入るのは同色（白石ばかりであるか、または黒石ばかり）である。 という前提から、(1)、および(2)の仮定部分とも（つまり、1個つかんだときとn個つかんだときのどっちであろうとも） 全て同色であり、スレ題の主張 >よって手の中の碁石はすべて同色である。 が成立する。（つまり(2)の仮定部分は、仮定というより、前提からの帰結として、(1)とは無関係に真である そして(2)の演繹部分だが、山からn+1個つかんだときも、上の前提から全て同色と帰結されるから、 そのうちの1個を除外してn個にしたやつも全て同色だし、除外した石を元に戻して（もとのn+1個に）戻した奴も当然同色 結局 >よって手の中の碁石はすべて同色である。 が成立する。 証明として残念なのは、数学的帰納法を使うまでも無いのにつかっちゃってる一点のみのはず、 |
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ていうか(2)の推論 n個とったとき全て白（黒）ならば、 n+1個とったとき全て白（黒） は、例えばn個とったときが全部黒でn+1個とったときが全部白、という風に、 n個のときとn+1個のときとが色違いである可能性があって推論として問題無い というのは、推論A→Bは、￢(A∧￢B)が真だという主張にすぎず、命題A,Bの真偽だけで真偽が決まり、 命題A、Bそれぞれが意味する操作間での石の色の一致・不一致は関係無い で、スレ題の場合はA、Bともに前提より真なので、￢(A∧￢B)が真。ゆえに推論として問題無し（真） No.100074の懸念は杞憂 |
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> この証明の間違いを指摘せよ。 「証明すべき事項」が《〈非数学的対象〉すなわち〈碁石の色〉についての言明》であるので、その恒真性の証明は出来合いの数学的（または数理論理学的）手法によっては為し得ない。にもかかわらず、その言明の恒真性を証明する手法として出来合いの数学的手法の一種いわゆる数学的帰納法が採られている。結果として一種の詭弁になってしまってる。そうした”手法の採り過まり“が当の証明での”間違い“だと指摘できる。 |
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>この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。 ここが間違い (2)で仮定しているのはつかんだ石がn個のときだからね n+1個つかんで1個のぞいた集合は(2)の仮定の集合とは等しくない |
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>No.100087 > (2) により というのを因果的に捉え杉 繰り返しになるが 命題A: n 個のとき成り立つ（山からn個つかんだら全部同色） 命題B: n+1個のとき成り立つ（山からn+1個つかんだら全部同色） のどちらも前提により真だと言える 故に推論A→Bは正しい（∵￢(A∧￢B)が真） 命題Aで想定する石の集合と、命題Bで想定する石の集合が違うというのは問題にならない |
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帰納法の誤用だね。 |
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なんで「証明すべき事項」が「前提」になっちゃってんの |
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数学的帰納法は以下の公理になっていて ( P(0)∧∀k( P(k)→P(k+1) ) ) → ∀n P(n) ただし P(n)=「"どんな"n個の石を持ってきても互いに同色」 ∀k( P(k)→P(k+1) )の部分がk=1で成立しないってことじゃな |
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kならばk+1が全て成立しないのに帰納法使ったからでしょう。 典型的な帰納法のの誤用 |
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いやkならばk+1は成立する 問題は仮定が矛盾を含んでいる事 |
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この証明のちょっと面白い所は n=1のときはn+1個取って1個除外すると かならず手持ちの石は同じ色になる点だね まあこの点からしても成立しない証明だってことだけど |
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k=2の時、（白,白),(白,黒),(黒,白),(黒,黒)が存在するが、そのどのパターンでも一つ取り除けば（自明な）同色だが、(白,黒),(黒,白)のパターンでは除いたものを戻せば同色ではない。 この時点でk=1からk=2へは証明の操作はつながらない。 >No.79385 推論の形式（型）が妥当であることと、意味論的に妥当であることは別概念。だから、仮定の集合が異なるという指摘は実は正しい。 |
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>問題は仮定が矛盾・・・ つまり、k→k+1が成立しないのでは？ |
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k=1の時は確かにk+1は成立しないんだけど、k≧2ならk+1は成立する これは仮定でkの時は同色になると置いているからで k=2で(黒,白)にはならないと言っている この時(黒,黒)から一つとって白を加えると(白,黒)になるはずが仮定により (白,白)になる、つまり残しておいた石が黒から白に変わってしまう。 これは矛盾である、矛盾した仮定を入れると何でも言えてしまう。 |
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>この時(黒,黒)から一つとって白を加えると いや、元に戻す石は取り除いた石と同じもの。 だから、（意味論的に）間違った推論を指摘すれば、「二個の石の組合わせが何であっても、それから一つの石を取り除いても残りは同色（一つだから）だが、そのことから元の二個が同色であるとは結論できない」ということになる。 |
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>No.100091 >なんで「証明すべき事項」が「前提」になっちゃってんの なんで「証明すべき事項」が「前提」じゃいかんのじゃ！！！！！１１１１！！！！ 前提に矛盾が無い以上、 前提が即証明となったところで矛盾が生じないのだから何の問題も無い |
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>なんで「証明すべき事項」が「前提」じゃいかんのじゃ ここまで馬鹿だとは思わなかった |
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まあ、証明すべきコトが前提として使えるなら、証明なんて必要なく直ぐに正しさは言えちゃうからな。 |
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標準的な数論を前提とする限り、例えば >3が素数ならば5は素数である という命題は真である ここからは国語の問題になるかもしれないが、 >3が素数であることから5は素数である に、数学的に >3が素数ならば5は素数である という解釈しか有り得ないのだとすると、こいつも真 よってスレの証明もおk オール無問題 （違うというなら「3が素数であることから5は素数である」の数学的別解釈を示してちょ |
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>No.79385 君は論理学の基礎が分かっていないからメンドクサイが。 古典論理の基礎では演繹による証明は「演繹の分離規則（モーダス・ポネンス）」と各種公理系を組み合わせる。基本は古典命題論理・古典述語論理で共通する。 「演繹の分離規則」とは、(A→B,A)⇒Bという推論規則であり、A→Bを大前提、Aを小前提、Bをそれらからの帰結という。推論規則は論理式((A→B)∧A))→Bとは別物で、大前提と小前提がともに正しければBを証明可能だいうことを意味する。 |
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(続き） 数学的帰納法の公理は既に他の方が示しておられるが、 >No.100096 >数学的帰納法は以下の公理になっていて >( P(0)∧∀k( P(k)→P(k+1) ) ) → ∀n P(n) とある。 これを公理とする系ではこの論理式は真であり、これを大前提として、小前提を(P(0)∧∀k(P(k)→P(k+1)）とし、小前提が真であると示されれば、 ∀n P(n)を帰結として結論できる。これが証明のモーダス・ポネンスだ。 そしてこのスレの証明では「小前提」が偽である。 (No.100082,No.100112などなど） 言い換えれば、数学的帰納法の公理に演繹分離規則を適用できない。 つまり論理連結記号"→"の定義や論理式型"A→B"の真偽値の議論は的外れだ。 |
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>No.100161 No.100162 馬鹿を相手にすんな つけあがるだけだろ |
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いやｽﾏﾝ >▼証明すべき事項 これを読み落としてたわ； >この山から無造作にいくつかの石をつかみ取ると、その中には入るのは同色（白石ばかりであるか、または黒石ばかり）である。 を大前提と言い出した時点で 誰か止めろよ； |
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>これを読み落としてたわ； 君はこれが多すぎる 自己顕示欲だけは一人前で迷惑千万この上ない >誰か止めろよ； 君みたいに一日中ここに居る訳じゃないんだよ 好き勝手に暴れといてその言いぐさは無いだろ |
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掲示板でみんなとコミュ取れてると勘違いしてるNo.79385 |
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>No.100185 ｽﾏﾝｶｯﾀorz 感謝してるﾁｭ♥ |