どこをどうやったらそんな公式になるのかと
だいたい全体にかかっていたV^2はどこいった一目おかしいとわかるが計算サイトに突っ込んどいたhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28V%5E2%29%28sum+sw%5E%28s-1%29+from+s%3D1+to+X%29
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②Y=2の時、作業回数X回目の設備では (V^2)（1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)）の計算値を求める必要が出てきた。 以下、前述の①と同じ。 ③Y=3の時、作業回数X回目の設備では (V^3)（1+3W+6W^2+10W^3+・・・+(X(X+1)/2)W^(X-1)）の計算値を求める必要が出てきた。 以下、前述の①と同じ。 ④Y=4の時、作業回数X回目の設備では (V^4)（1+4W+10W^2+20W^3+・・・+(X(X+1)(X+2)/6)W^(X-1)）の計算値を求める必要が出てきた。 以下、前述の①と同じ。 |
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なお、今の段階では条件2.のb、cはまだ関係ありません。 |
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なお、今の段階では誰からもまだレスはありません。 |
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なんかワラタ |
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① 1 - (b / (b + c))^X xが偶数ならn^x=(n^(x/2))^2 xが奇数ならn^x=n*n^(x-1) とすればべき乗での乗算の回数は Log2N～2*Log2N になる。 でどうか。 |
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S[Y,X]=(V^Y)Σ[k=1,X]a[Y,k]W^(k-1) a[Y,k]=Σ[t=1,k]a[Y-1,t] a[1,k]=1 だろうか (1-W)S[Y,X]=(V^Y){(Σ[k=1,X]a[Y-1,k]W^(k-1))-a(Y,X)W^X}でうまくいくのかなと思ったが {(1-W)^2}S[Y,X]を計算してみて投げた |
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>>No.90121 さん 一気に計算しようとせず ①を計算してから、①をもとに②を求め、②をもとに③を求め・・・とすると求め易いです。 ちなみに①については、1-W^X となります。 >>No.90119さんの1行目と一致します。 1-W^X まで得られれば、今回のｽﾚ的にはOKです。 つまり、 ①V（1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)）=1-W^X となります。 |
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b,cにもよるけど、Xが大きいとなると手計算は大変だと思うんだが、実際はどうやったの？ |
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すみません。ここで言う、手計算が大変というのは ①の場合、Xが500とすると V（1+W+W^2+W^3+W^4+W^5+W^6・・・+W^499） と、Wの乗数を499回足していくのが大変。という意味です。 W^5とかW^499とかは、単純に電卓で求めました。 上式は因数分解すると1-W^Xとなり、1-W^500を計算するだけで済むのでWの乗数は1回求めるだけなので、500倍ほど計算が楽になったという意味です。誤解させてすみません。 |
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ですので、 ①V（1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)）=1-W^X ②(V^2)（1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)）=○○○ ③(V^3)（1+3W+6W^2+10W^3+・・・+(X(X+1)/2)W^(X-1)）=△△△ ④(V^4)（1+4W+10W^2+20W^3+・・・+(X(X+1)(X+2)/6)W^(X-1)）=□□□ 以上の○○○、△△△、□□□を、簡易な数式になる様に因数分解等して求めましょう。という問題です。 |
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そんな公式があったんですね。ありがとう勉強になります。 ただ、意外と答えはすっきりした形に収まります。 ②については、(V^2)（1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)） =1-(W^X)(1+VX) となります。 Wに0.8とか0.5など、1以外の数字を入れると検算し易いかと思います。 |
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どこをどうやったらそんな公式になるのかと だいたい全体にかかっていたV^2はどこいった一目おかしいとわかるが計算サイトに突っ込んどいたhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28V%5E2%29%28sum+sw%5E%28s-1%29+from+s%3D1+to+X%29 |
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1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)が、実は =(1-(W^X)(1+VX))/(V^2)となりまして、ということは (V^2)（1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)） =1-(W^X)(1+VX) となります。 |
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本当にすまん、V+W=1を忘れていた |
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いえ、こちらこそ説明不足でした。 今後の事も考えて、条件の2番と4番に追記します。 条件 1.ある設備の番号を、工程順にY=1、Y=2・・・とする。 2.あるパラメーターとして、W=b/(b+c)、V=c/(b+c)とする。 （W+V=1となります） 3.その設備の作業回数をXとする。 4.Yと比べて、Xは圧倒的に大きい（例えば500倍など）。 また、bもcと比べて圧倒的に大きい。 |
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①をどうやって求めたか、書いてみます。 V（1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)）の先頭のVは後で考えるとして、まずは 1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)から先に考えます。 --------------------------------------------------------- (1+W)(1-W)=1-W^2 であるから、(1+W)=(1-W^2)/(1-W)となる。 次に、1+W+W^2を計算する場合、(1+W)+W^2=(1-W^2)/(1-W)+W^2 を計算すれば良く、これを展開して計算すると、(1-W^3)/(1-W)となる。 従って、(1+W+W^2)=(1-W^3)/(1-W)となる。 次に、1+W+W^2+W^3を計算する場合、(1+W+W^2)+W^3=(1-W^3)/(1-W)+W^3 を計算すれば良く、これを展開して計算すると、(1-W^4)/(1-W)となる。 従って、(1+W+W^2+W^3)=(1-W^4)/(1-W)となる。 --------------------------------------------------------- |
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以上を繰り返すことによって、最終的に 1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)=(1-W^X)/(1-W)となる。 ここで、条件2より、1-W=Vであることから 1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)=(1-W^X)/Vとなる。 ここで、元の①の式では先頭にVが付いていたので計算 すると、 V（1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)）=V(1-W^X)/V となり、 V（1+W+W^2+W^3+・・・+W^(X-1)）=1-W^X となる。 以上です。 |
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(1+W)(1-W)=1-W^2 になる事を利用すれば良いと気付いた時は、本当に嬉しかった思い出があります。 また、②は①を応用して求めたのですが、この②をどうやって求めるか気付いた時も嬉しく、その日は眠れませんでした。 ほんと数学が好きで良かった。と思った、過去の良い思い出です（ただの因数分解ですがｗ） さて、②の解法に行く前に少し話題を変えて、Wの左側に付いている係数を書いてみたいと思います。 |
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Wの左隣の系数について ①Y=1の時：1, 1, 1, 1, 1, 1・・・ ②Y=2の時：1, 2, 3, 4, 5, 6・・・ ③Y=3の時：1, 3, 6, 10, 15, 21・・・ ④Y=4の時：1, 4, 10, 20, 35, 56・・・ ⑤Y=5の時：1, 5, 15, 35, 70,126・・・ ⑥Y=6の時：1, 6, 21, 56,125,252・・・ ・ ・ ・ となります。 1.係数を縦方向に見ていくと、横方向も同じ並びがある。 2.『係数』と『右上の係数』を足すと『右隣の係数』になる。 3.係数を右下方向に斜めに見ていくと、『パスカルの三角形』の数列になる。 などの事が分かります。面白いですよね。 |
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⑤⑥については勢い余って、書いてしまいました。すみません。 |
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3.について、訂正します＞＜すみません。 3.係数を『右上方向』に斜めに見ていくと、『パスカルの三角形』の数列になる。 です。 |
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ただの高二でやる級数じゃん |
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母関数 |
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やはり高校レベルの内容でしたか。すみませんでした。 では、途中経過をはしょって結果だけ下記にまとめます。 ②(V^2)（1+2W+3W^2+4W^3+・・・+XW^(X-1)）=1-(W^X)(1+VX) ③(V^3)（1+3W+6W^2+10W^3+・・・+(X(X+1)/2)W^(X-1)）=1-(W^X)(1+VX+(V^2)X(X+1)/2) ④(V^4)（1+4W+10W^2+20W^3+・・・+(X(X+1)(X+2)/6)W^(X-1)） =1-(W^X)(1+VX+(V^2)X(X+1)/2+(V^3)X(X+1)(X+2)/6) となります。引き続き考えると、 ⑤(V^5)（1+5W+15W^2+35W^3+・・・+(X(X+1)(X+2)(X+3)/4!)W^(X-1)） =1-(W^X)(1+VX+(V^2)X(X+1)/2+(V^3)X(X+1)(X+2)/3!+(V^4)X(X+1)(X+2)(X+3)/4!) ・ ・ ・ などとなりますね。 |
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⑥以降については長くなり過ぎるので、階乗を使って記載します。 例えば、X(X+1)(X+2)については階乗を使って記載すると、(X+2)!/(X-1)!となります。 ⑥(V^6)（1+6W+21W^2+56W^3+・・・+(X+4)!/(5!(X-1)!))W^(X-1)） =1-(W^X)(1+VX+(V^2)(X+1)!/(2!(X-1)!)+(V^3)(X+2)!/(3!(X-1)!)+(V^4)(X+3)!/(4!(X-1)!)+(V^5)(X+4)!/(5!(X-1)!)) となります。 以上から、⑦,⑧,⑨（Y=7,8,9・・・）もどうなるか推測できますね。 |
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以上を元に、Yを使って記載すると (V^Y)(1+WY+(W^2)(Y+1)!/(2!(Y-1)!)+(W^3)(Y+2)!/(3!(Y-1)!)+・・・+(W^(X-1))(Y+X-2)!/((X-1)!(Y-1)!)) =1-(W^X)(1+VX+(V^2)(X+1)!/(2!(X-1)!)+(V^3)(X+2)!/(3!(X-1)!)+・・・+(V^(Y-1))(X+Y-2)!/((Y-1)!(X-1)!)) となります。 |
 組み合わせの、『Ｃ』を使うと添付画像の様にすっきりまとまります。 『Ｃ』は『重複を持たない組合せ』なのですが、『重複組合せ』で、『Ｈ』というのがあります。ﾘﾝｸ先のｻｲﾄは『Ｈ』に対応していない様なので、添付画像ではカッコの中が(Y-1+n,n)となっていますが、『Ｈ』が使える場合は(Y,n)となり、もっとすっきりまとまります。http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28V%5EY%29+sum+%28%28W%5En%29c%28Y-1%2Bn%2Cn%29%29+from+n%3D0+to+%28X-1%29%29%3D1-%28%28W%5EX%29+sum+%28%28V%5Em%29c%28X-1%2Bm%2Cm%29%29+from+m%3D0+to+%28Y-1%29%29http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) |
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以降についてですが、 A.この式の近似式を求めてみる。 B.高校で習うﾚﾍﾞﾙとの事で釈迦に説法だと思い、>>No.90151 は途中経過をはしょったのですが、解き方を書いてみる。 C.そもそも、どこから(V^3)（1+3W+6W^2+10W^3+・・・+(X(X+1)/2)W^(X-1)）等が出て来たのか、解説する。 以上の順でやってみようと思いますが、先に書いて欲しい順などあれば教えて下さい。 |
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はよ続き書きなはれ |
 体調崩しておりました。 前に出した式の右辺について、近似式のお話をしたいと思います。例えばY=4の時の右辺は、添付画像の様になります。1-(W^X)(1+VX+(V^2)X(X+1)/2!+(V^3)X(X+1)(X+2)/3!)ですね。http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-%28W%5Ex%29*%281%2BVX%2B%28%28V%5E2%29%2F2%21%29*X%28X%2B1%29%2B%28%28V%5E3%29%2F3%21%29*X%28X%2B1%29%28X%2B2%29%29 |
 まず、カッコの中から先に考えます。 >>No.90139の条件4で書いた様に、XはYと比べても圧倒的に大きいです。例えば1000としましょう。X(X+1)(X+2)を考えると、1000*1001*1002となりますがこれはもうほとんど、1000*1000*1000と変わらないと考えます。という事は、X(X+1)(X+2)はX^3、X(X+1)はX^2などと近似出来ます。その上で、V*Xを例えば、Mと書くとすると前述の式は近似式として1-(W^X)(1+M+(M^2)/2!+(M^3)/3!)となります。http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-%28W%5Ex%29*%281%2BM%2B%28%28M%5E2%29%2F2%21%29%2B%28%28M%5E3%29%2F3%21%29%29 |
 次に、W^Xについて考えます。 >>No.90139の条件2にある様に、W=b/(b+c)ですがここで分母と分子を逆にしてみましょう。（1/Wを考えてみましょう）1/W=(b+c)/b=(b/b)+(c/b)=1+(c/b)1/(W^X)=(1+(c/b))^Xですね。http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28W%5EX%29%3D%281%2B%28c%2Fb%29%29%5EX |
 >>No.90139の条件4 にある様にXが大きく、またbはcより圧倒的に大きいのですが、この場合には(1+(c/b))^X ≒ exp(X*c/b)となります。http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B%28c%2Fb%29%29%5EX+%3D+exp%28X*c%2Fb%29 |
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ここで更に近似して、c/b ≒ c/(b+c)とするとこれはVとなるので (1+(c/b))^X ≒ exp(X*c/b) ≒ exp(X*c/(b+c)) ⇒ exp(X*V)=exp(M) となります。つまり、 1/(W^X) ≒ exp(M)となるため、 W^X ≒ 1/exp(M) ⇒exp(-M) となります。 |
 余談ですが、 以上の式の「M」を「λ」と書き換えると、ポアソン分布の公式になる事を昨年知りました。（品質管理検定（QC検定）2級の試験勉強をしていた時に気付きました。嬉しかったですね）ポアソン分布を式で表すと、添付画像の様になります。http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28X%29+%3D+%28e%5E%28-%CE%BB%29%29*%28%CE%BB%EF%BC%BEX%29%2FX%21 |
 ポアソン分布では、例えば 「ある特殊な血液型を持つ人の確率が1.5%の時、200人中にこの血液型を持つ人が4人以上いる確率を求めよ。λ=3とする（1.5%×200=3）」といった問題の時、添付画像の様になります。http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-%28e%5E%28-%CE%BB%29%29*%281%2B%CE%BB%2B%28%28%CE%BB%5E2%29%2F2%21%29%2B%28%28%CE%BB%5E3%29%2F3%21%29%29+%3D+1-%28e%5E%28-3%29%29*%281%2B3%2B%28%283%5E2%29%2F2%21%29%2B%28%283%5E3%29%2F3%21%29%29 |
 以上より、>>No.90156の近似式は添付画像の様になります。 なお、上式でもそうですがあくまでも近似式なので「=」の部分は「≒」に読み替えて下さい。http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28V%5EY%29+sum+%28%28W%5En%29%28Y-1%2Bn%29%21%2F%28%28Y-1%29%21n%21%29%29+from+n%3D0+to+%28X-1%29%29+%3D+1-e%5E%28-M%29+sum+%28%28M%5Em%29%2F%28m%21%29+from+m%3D0+to+%28Y-1%29%29 |
 以前に、>>>>No.90156式の左辺の近似式を求めようとした 事もありましたが、あきらめました。Xやbが圧倒的に大きな右辺と違い、Yやcが非常に小さいためです。（cは1程度、Yは大きくてもせいぜい5以下）仮にX＝4とした時、左辺は添付画像の様になりますが、Yが小さいため、W*Yをひとまとめにする事などは出来ませんでした。（Y=5とした場合でも、Y(Y+1)(Y+2)=5*6*7となりさすがにY^3と近似する訳にはいきません）http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28V%5EY%29*%281%2BW*Y%2B%28%28W%5E2%29%2F2%21%29*Y%28Y%2B1%29%2B%28%28W%5E3%29%2F3%21%29*Y%28Y%2B1%29%28Y%2B2%29%29 |
 ただ、面白い事は見つけました。 私が知らなかっただけで、数学の教科書等には載っているかと思います。1+Y+Y(Y+1)/2!+Y(Y+1)(Y+2)/3!=(Y+1)(Y+2)(Y+3)/3!1+Y+Y(Y+1)/2!+Y(Y+1)(Y+2)/3!+Y(Y+1)(Y+2)(Y+3)/4!=(Y+1)(Y+2)(Y+3)(Y+4)/4!などです。http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2BY%2B%281%2F2%21%29Y%28Y%2B1%29%2B%281%2F3%21%29Y%28Y%2B1%29%28Y%2B2%29%2B%281%2F4%21%29Y%28Y%2B1%29%28Y%2B2%29%28Y%2B3%29%3D%281%2F4%21%29%28Y%2B1%29%28Y%2B2%29%28Y%2B3%29%28Y%2B4%29 |
 以上の、VやWを省いた左辺の式をまとめると、添付画像の様になります。 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28%28Y-1%2Bn%29%21%2F%28%28Y-1%29%21n%21%29%29+from+n%3D0+to+%28X-1%29%29%3D%28Y%2BX-1%29%21%2F%28Y%21%28X-1%29%21%29近似式については以上で終わりです。 |
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texで書いてくれ |
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texについて調べ始めましたけど、導入するの難しそう・・・ |
