全くわからない自作問 - 数学＠ふたば保管庫

数学＠ふたば保管庫 [戻る]

64556 B


全くわからない自作問題

剰余記号を%
つまり(am+r)%m=r (0≦r＜m)としたとき
f(p,c)=Σ[n=1,2p]{{c+Σ[k=1,n]k}%p}
例えばp=10のとき画像のようになる、はず

pが与えられた時f(p,c)を最大・最小にするcは
具体的にf(p,c)を計算し並べること以外で
どのように求められるだろうか

  p=10の例でいうと
cを1増やすと20-10×(9の出現数)だけ増える

  S(n)=Σ[k=1,n]k=n(n+1)/2
S(n,p)=S(n)%p とする。
f(p,0)=Σ[n=1,2p]S(n,p)であり
f(p,c)=f(p,c-1)+p(2-[S(n,p)のうちp-cの出現数])
なのでまずはS(n,p)の出現分布を調べたい。
pが奇素数の場合,0<=n<m<pとすると
S(m,p)=S(n,p)⇒n(n+1)/2=m(m+1)/2 mod p
⇒m(m+1)-n(n+1)は2pで割り切れる
⇒m^2-n^2+m-n = (m+n+1)(m-n) は2pで割り切れる
⇒m+n+1=p
というところまで考えましたが自信はないです。